تبدیل همبستگی پیرسون ↔ Fisher’s z
ضریب همبستگی را برای فراتحلیل تبدیل کنید، یا نتیجهٔ Fisher z را به مقیاس همبستگی برگردانید.
همهٔ ابزارهای آماری ←ورودی‌های محاسبه
نتیجهٔ تبدیل
عدم قطعیت و فاصلهٔ اطمینان
فاصلهٔ تقریبی ابتدا روی مقیاس z ساخته شده و سپس به r بازگردانده شده است.
دادهٔ آماده برای فراتحلیل در مقیاس Fisher z
متن قابل استفاده در گزارش
The correlation r = 0.5 was transformed to Fisher's z = 0.549306; with n = 100, SEz = 0.101535 and the 95% approximate confidence interval on the correlation scale was [0.336643, 0.63414].
بازتولید محاسبه در R
r <- 0.5 z <- atanh(r) n <- 100 sei <- 1 / sqrt(n - 3) vi <- 1 / (n - 3) yi <- z # Two-sided 95% normal approximation; quantile rounded to 6 decimals critical <- 1.959964 lower_z <- z - critical * sei upper_z <- z + critical * sei lower_r <- tanh(lower_z) upper_r <- tanh(upper_z)
روش محاسبه و فرمول‌ها
تبدیل فیشر برای ضریب همبستگی حاصل‌ضرب گشتاوری پیرسون تعریف می‌شود. در محاسبه از atanh و tanh استفاده می‌کنیم تا از فرمول نمایی ناپایدار برای zهای بزرگ پرهیز شود.
z = atanh(r) = 0.5 × ln((1 + r) / (1 − r))
r = tanh(z)
SEz = 1 / √(n − 3) · vi = 1 / (n − 3)
CIz = [z − critical × SEz, z + critical × SEz]
CIr = [tanh(lower_z), tanh(upper_z)]
فاصلهٔ اطمینان دوطرفه روی مقیاس Fisher z متقارن است. پس از بازتبدیل، معمولاً پیرامون r متقارن نیست؛ فاصله‌ای متقارن مستقیماً روی r نمی‌سازیم. مقادیر بحرانی نرمال، هماهنگ با سایر ابزارهای سایت و با شش رقم اعشار، برای ۹۰٪ برابر 1.644854، برای ۹۵٪ برابر 1.959964 و برای ۹۹٪ برابر 2.575829 هستند.
چرا این تبدیل در فراتحلیل کاربرد دارد؟
همبستگی خام بین ۱− و ۱+ محدود است و واریانس نمونه‌گیری آن ثابت نیست. تبدیل فیشر مقیاسی نامحدود ایجاد می‌کند که توزیع نمونه‌گیری آن تحت شرایط مناسب تقریباً نرمال است و برای تجمیع همبستگی‌ها به کار می‌رود. پس از فراتحلیل، برآورد تجمیع‌شده و حدود فاصله را برای تفسیر به r بازمی‌گردانیم؛ تبدیل، نرمال‌بودن دقیق را تضمین نمی‌کند.
مثال‌های حل‌شده
با r = 0.50، مقدار Fisher z تقریباً 0.549306 است. برای r = −0.30، تبدیل تقریباً −0.309520 می‌شود و علامت حفظ می‌شود. در جهت معکوس، z = 0 به r = 0 برمی‌گردد.
اگر r = 0.50 و n = 100 باشد، در سطح اطمینان ۹۵٪:
SEz = 1 / √97 ≈ 0.101535 · vi = 1 / 97 ≈ 0.010309
CIz ≈ [0.350302, 0.748310]
CIr ≈ [0.336643, 0.634140]
این اعداد برای نمایش گرد شده‌اند. کد R از مقدار عددی کاملِ ورودی استفاده می‌کند.
پیش‌فرض‌ها و محدودیت‌ها
- فرمول معمول SEz یک تقریب نمونهٔ بزرگ برای همبستگی پیرسون در مدل عادیِ دوبعدی و مشاهدات مستقل است. حداقل n = 4 به معنای تضمین دقت تقریب در نمونهٔ کوچک نیست.
- n تعداد زوج‌مشاهدات معتبرِ استفاده‌شده در محاسبهٔ همبستگی است؛ تعداد کل رکوردهای ناقص را جایگزین آن نکنید.
- همبستگی‌های وابسته به روش‌های تخصصی نیاز دارند. اندازه‌گیری تکراری و نمونه‌های خوشه‌ای ممکن است به برآورد واریانس دیگری نیاز داشته باشند.
- ضرایب اسپیرمن و کندال بدون توجیه روش‌شناختی، معادل پیرسون با همین واریانس نیستند. همبستگی جزئی نیز ممکن است به واریانس متفاوتی نیاز داشته باشد.
- تصحیح خطای اندازه‌گیری خارج از دامنهٔ این ابزار است. این تبدیل به‌تنهایی معناداری، علیت یا اهمیت بالینی را تعیین نمی‌کند.
- r = ±1 قابل تبدیل به z متناهی نیست. برای z متناهیِ بسیار بزرگ، tanh ممکن است در دقت ممیز شناور به ±1 گرد شود؛ این حالت با سرریز یا اثبات همبستگی کامل تفاوت دارد. حدود بسیار نزدیک به مرز نیز ممکن است گرد شوند.